Ключевые слова: урановое стекло; природные радионуклиды (NORM); очищенный уран; нарушение векового равновесия; ^234mPa; доза в коже; бета-дозиметрия; эффект «горячей частицы»; Монте-Карло; Geant4; потребительские изделия с радиоактивностью.

1Образец и постановка

Урановое стекло — силикатное стекло, окрашенное соединениями урана (обычно 0,1–2 масс.% U, исторически до десятков процентов); ему свойственны жёлто-зелёная окраска и яркая зелёная флюоресценция[1]. В исследуемом бисере измеренная массовая доля урана составляет 1,85 % (18,37 г ²³⁸U + 0,124 г ²³⁵U на кг стекла). Наблюдаемая флюоресценция церия и отсутствие бария указывают на введение в стекломассу оксида церия CeO₂ — распространённого обесцвечивателя стекла: церий действует не как краситель, а как окислитель, переводящий примесное железо Fe²⁺ (сильный сине-зелёный краситель) в Fe³⁺ (слабый жёлтый) и тем снимая нежелательный оттенок[2]. Типичные вводимые доли CeO₂ — 0,025–0,2 масс.%[2б]; в расчёте принято ~0,5 % (верхняя оценка, на перенос β/γ не влияет, §3).

Цель работы — оценить мощность эквивалентной дозы и дозу в коже от бета- и гамма-излучения при непосредственном контакте бисера с кожей, для трёх сценариев обращения: (а) одна бусина, (б) цепочка бусин (нить, браслет), (в) плотная однорядная укладка — «коврик» (вышивка, плотное низание бисером). Доза нормируется на базальный слой эпидермиса (глубина 50–100 мкм, ≈ 5–10 мг/см²), усреднённой по площади 1 см² — стандартное определение эквивалентной дозы в коже[6][7].

2Радионуклидный состав источника

По данным о происхождении стекла уран в нём химически очищенный (обеднённый либо природный, с минимальным содержанием радия). Химическая очистка урана отделяет продукты его распада, вследствие чего вековое равновесие ряда ²³⁸U оказывается нарушенным на ²²⁶Ra. За время жизни изделия (десятилетия) ²²⁶Ra из ²³⁰Th практически не восстанавливается: период полураспада ²³⁰Th — 75 584 года[3]. Поэтому радий и последующие члены ряда отсутствуют — а именно ²¹⁴Pb и ²¹⁴Bi, дающие в радийсодержащем материале проникающие гамма-линии 352 / 609 / 1120 / 1764 кэВ[4].

Присутствуют и излучают только короткоживущие дочерние нуклиды первых звеньев цепочек распада ²³⁸U и ²³⁵U, восстановившие вековое равновесие с материнским ураном за месяцы после варки стекла:

3Модель и метод расчёта

Метод Монте-Карло и Geant4

Расчёт выполнен методом Монте-Карло — прямым статистическим моделированием судьбы каждой отдельной частицы: розыгрышем места рождения, энергии, направления и всех последующих взаимодействий с веществом вплоть до полного поглощения. Использована библиотека переноса частиц Geant4 (GEometry ANd Tracking, разработка ЦЕРН, стандартный инструмент дозиметрии и медицинской физики), версия 11.2.1[9][10]. Физический список — набор моделей взаимодействий, подключаемых к транспорту; от него зависит точность:

• G4EmStandardPhysics_option4 — наиболее точная стандартная конфигурация электромагнитной физики Geant4 (рекомендуется для дозиметрии). Для электронов включает ионизационные потери, тормозное излучение, многократное и однократное кулоновское рассеяние; для фотонов — фотоэффект, комптоновское и рэлеевское рассеяние, рождение пар, а также флюоресценцию и оже-эмиссию. Область применимости (от ~100 эВ) с запасом покрывает весь энергетический диапазон задачи[11].
• G4RadioactiveDecay — модуль радиоактивного распада. Для заданного ядра он разыгрывает акт распада по оценённым ядерным данным (библиотека на основе ENSDF / ICRP-107[4][5]): вид распада, полный непрерывный β-спектр (а не среднюю энергию), гамма-каскад дочернего ядра, электроны внутренней конверсии, характеристическое рентгеновское излучение и оже-электроны. Спектры источника не задаются вручную — они порождаются из ядерных данных.

Первичный источник и учёт цепочки распада

Первичной частицей каждой истории служит материнский ион (например, ²³⁴Th) с нулевой кинетической энергией, помещённый в случайную точку объёма стекла; распад разыгрывается немедленно. Поскольку β-распад сохраняет массовое число A, изобарная подцепочка A = 234 (²³⁴Th → ^234mPa → ²³⁴U) в вековом равновесии моделируется как единое целое: один запуск с активностью ²³⁴Th воспроизводит совокупное излучение ²³⁴Th и ^234mPa (их активности равны). Альфа-распад меняет A, поэтому дальше цепочка не идёт и радиевый ряд не восстанавливается. Цепочка A = 235 (²³⁵U → ²³¹Th) моделируется аналогично. Итоговая доза — сумма вкладов двух непересекающихся цепочек, что исключает двойной учёт (см. §11 — независимый аудит кода).

Свёртка активностями. Каждый расчёт даёт отклик — поглощённую энергию в ткани на один распад. Мощность дозы получается умножением отклика на измеренную активность и суммированием по цепочкам: Ḋ = Σ A_i·R_i. Разделение «транспорт ↔ активности» позволяет пересчитывать дозу при уточнении активностей без повторного моделирования.

Геометрия и фантом

Стекло — натрий-кальциевое силикатное (сода-известь) с добавкой U 1,84 масс.% и Ce ~0,5 % (CeO₂; точное содержание неизвестно, влияние на перенос β/γ при этой доле пренебрежимо), плотность 2,5 г/см³[1]. Бусина 6/0 (рокайль) моделируется как сфера Ø4,1 мм с осевым цилиндрическим отверстием (радиус 0,93 мм подобран под измеренную массу 63,96 мг); сфера касается кожи в одной точке. Источник распределён по объёму стекла, чем учитывается самопоглощение бета-частиц: часть эмитированных бета-частиц поглощается в самом стекле, не достигая кожи. По расчёту в стекле поглощается 55 % энергии бета-частиц для одиночной бусины и до 67 % в плотной укладке. Цепочка — 11 сфер в линейный ряд с шагом 4,1 мм (касание по внешнему диаметру), ось ряда параллельна поверхности кожи; скоринг под центральной бусиной. Коврик — квадратная решётка бусин с тем же шагом.

Фантом «кожа + прилегающие ткани». Для бета- и мягкого гамма-излучения от контактного источника адекватен не полноростовой воксельный фантом (бета-частицы уходят в ткань ≤ 1 см и не «видят» остального тела; воксельная модель не разрешает слой 70 мкм), а слоистая тканевая пластина: мягкая ткань ICRU[8] толщиной 2 см. Верхние 0,5 мм разрешены мелким шагом (15 мкм) и низким порогом рождения вторичных частиц (5 мкм). Поглощённая энергия набирается по слоям глубины и по радиусу в диске площадью 1 см²; раздельно учитываются электроны (β-частицы, электроны внутренней конверсии и Оже), фотоны распада (γ- и характеристическое рентгеновское излучение) и тормозное излучение.

Статистика

Статистика — 2·10⁶ распадов на цепочку A = 234 и 1·10⁶ на A = 235. Статистическая погрешность (1σ) мощности дозы в базальном слое — 0,3 % (одна бусина), 0,6 % (цепочка), 1,0 % (коврик), существенно меньше систематических допущений (§10). Вклад тормозного излучения в дозу кожи пренебрежимо мал (< 0,1 %). Обоснование достоверности расчёта — §8.

4Мощность эквивалентной дозы в коже Ḣ_p(0,07): результаты

Мощность эквивалентной дозы внешнего облучения кожи Ḣ_p(0,07) (мкГр/ч = мкЗв/ч, взвешивающий коэффициент w_R = 1 для β и γ), контакт вплотную, усреднение по площади 1 см²:

Бюджет неопределённостей

Статистическая погрешность метода Монте-Карло мала (< 1 %); итоговую неопределённость расчёта определяют систематические допущения, прежде всего форма бусины. Сферическая модель даёт нижнюю оценку кожной дозы (компактная геометрия, точечный контакт, максимальное самопоглощение); цилиндрическая — верхнюю; истинное значение для реального рокайля (скруглённый бочонок) лежит между ними.

Кроме перечисленного, результат линейно пропорционален измеренной удельной активности источника: её погрешность (входная измеренная величина) переносится в дозу множителем 1:1 и в расчётный бюджет не включена — при уточнении активностей дозу достаточно домножить на соответствующий коэффициент.

Насыщение поля с ростом укладки: мощность дозы в центре растёт лишь пока добавляются бусины в пределах поперечного разлёта бета-частиц (~1 см). Относительно одиночной бусины: цепочка ×2,7; коврик 5×5 ×7,2, 7×7 ×7,3, 9×9 ×7,2 — дальнейшее расширение укладки мощность дозы не увеличивает (насыщение достигается уже при размере ~5×5). Мощность эквивалентной дозы в коже практически целиком обусловлена электронной компонентой (> 99,8 %); вклад фотонов не превышает 0,2 %, однако фотоны проникают в ткань существенно глубже бета-частиц (Рис. 1).

5Пространственное распределение поля мощности дозы

Трёхмерное распределение поглощённой дозы (в тканеэквивалентной среде) вокруг источника для трёх конфигураций. С ростом укладки локальное поле отдельной бусины переходит в квазиоднородный приповерхностный слой облучения; фотонная компонента во всех случаях распределена шире электронной и на порядки слабее.

6Локальная неоднородность: эффект «горячей частицы»

Сфера касается кожи практически в точке, поэтому естественен вопрос о возможном превышении нормы в микроскопическом пятне контакта. Однако норматив кожной дозы[6][7] определён именно как доза, усреднённая по площади 1 см² — намеренно, поскольку он защищает от детерминированных эффектов кожи (эритема, некроз), возникающих лишь при облучении конечного объёма ткани; тот же подход к усреднению принят для дискретных радиоактивных частиц (NCRP-130, ICRP). Отдельного, более строгого «локального» предела для точечного контакта нормы не вводят.

Количественно: доза в базальном слое, усреднённая по диску всё меньшей площади под точкой контакта, растёт от нормативного значения 6,7 мкЗв/ч (1 см²) до 27 мкЗв/ч на площади 0,01 см² (Рис. 4). Отношение пика к среднему по 1 см² — ×4,1. Даже это пиковое локальное значение (десятки мкЗв/ч) на порядки ниже уровней, при которых возникают детерминированные эффекты кожи: порог эритемы (~3 Гр) при 27 мкГр/ч был бы достигнут лишь за ~10⁵ часов непрерывного контакта. Таким образом, локальная неоднородность поля не приводит к превышению норматива.

7Проверочный расчёт классическим методом

Чтобы независимо от Geant4 проверить и порядок, и абсолютное значение дозы, выполнена классическая (полуаналитическая) оценка по принципу «от простого к точному»: сначала — замкнутая формула для коврика, которую читатель воспроизведёт вручную (§7.1), затем — объёмный интеграл по сфере с двумя вариантами дозового ядра (§7.2).

7.1. Мощность эквивалентной дозы Ḣ_p(0,07) плотной укладки: замкнутая формула (полубесконечный плоский источник)

Плотный коврик латерально много больше пробега бета-частиц (экстраполированный пробег β ^234mPa E_max = 2,27 МэВ в ткани ≈ 1,1 г/см² ≈ 11 мм; коврик 9×9 ≈ 37 мм), поэтому его правомерно приблизить бесконечной однородной β-активной плоскостью стекла. Мощность дозы у поверхности полубесконечного однородного источника равна половине равновесной мощности в бесконечной среде[17] (энергия делится поровну «вверх/вниз»), ослабленной до глубины базального слоя:

Ḋ_p(0,07) = ½ · Σ_i C_v,i · Ē_i · e^−ν_iσ · k

• C_v,i — удельная активность нуклида i, Бк/кг (Табл. 1);
• Ē_i — средняя энергия β-спектра, МэВ (IAEA/ICRP-107);
• ν_i = 16·(E_max,i − 0,036)^−1,4 — коэффициент ослабления β, см²/г (эмпирика Лёвинджера[16][17]);
• σ = ρ_ткань·d = 1,03 г/см³ × 7,0·10⁻³ см = 7,21·10⁻³ г/см² — масс. глубина базального слоя (70 мкм);
• k — перевод (Бк/кг)·МэВ → мкГр/ч: k = 1,602·10⁻¹³ Дж/МэВ × 3,6·10⁹ с·мкГр/(ч·Гр), т.е. Ḋ_∞[мкГр/ч] = C_v·Ē·5,767·10⁻⁴.

Пример для доминирующего ^234mPa (проверяется калькулятором в четыре строки):

1. ν = 16·(2,27 − 0,036)^−1,4 = 16·(2,234)^−1,4 = 16 / 3,08 = 5,19 см²/г;
2. νσ = 5,19 × 7,21·10⁻³ = 0,0374; e^−0,0374 = 0,963;
3. Ḋ_∞ = 2,27·10⁵ × 0,819 × 5,767·10⁻⁴ = 107,2 мкГр/ч;
4. вклад = ½ × 107,2 × 0,963 = 51,7 мкГр/ч.

Неопределённость. Результат доминируется ^234mPa (множитель e^−νσ ≈ 0,96 почти не влияет). Определяющие вклады — удельная активность (HPGe, u ≈ 10 %) и средняя энергия β-спектра (u ≈ 10 %): u_отн = √(0,10² + 0,10²) ≈ 14 %. Итог: Ḋ_p(0,07) ≈ 53 ± 7 мкГр/ч.

7.2. Мощность эквивалентной дозы Ḣ_p(0,07) одиночной бусины: интеграл дозового ядра по сфере

Одиночная бусина мала в сравнении с пробегом β, поэтому полубесконечное приближение к ней неприменимо. Для неё (и промежуточных укладок) взято бета-точечное дозовое ядро, проинтегрированное по объёму стекла сферы с учётом самопоглощения; цепочка и коврик получены суперпозицией сфер на решётке:

Ḋ(r) = a·Ē·ν / (4π I) · Φ(ν·m) / r², I = ∫₀^∞ Φ(u) du

где m — масса вдоль луча (стекло + ткань), r — расстояние; a·Ē — полная излучаемая мощность, 1/(4πr²) — геометрическое расхождение изотропного точечного источника, Φ(ν·m) — безразмерная радиальная функция спада дозы (дозовое ядро)[16][18], а нормировочный множитель ν/(4πI) с I = ∫₀^∞Φ(u)du фиксируется условием сохранения энергии (∫ Ḋ·ρ·4πr²dr = a·Ē). Доза считается только в точках-мишенях на коже (диск 1 см² на глубине базального слоя) и суммируется по всем точкам-источникам в стекле: множитель 1/(4πr²) задаёт долю изотропной эмиссии каждой точки, попадающую на кожу в пределах её телесного угла, а Φ(ν·m) ослабляет её на длине стекла именно по лучу к коже. То есть учитывается не «вся эмиссия из сферы», а лишь достигающая кожи (электроны, ушедшие вверх/вбок, мишени на коже не имеют). Рассмотрены два ядра Φ:

• экспоненциальное Φ(x) = e^−x (I = 1) — простейшее, с бесконечным «хвостом»;
• ядро Лёвинджера (1956)[16] Φ(x) = c(1−(x/c)·e^1−x/c) + x·e^1−x при x ≤ c; x·e^1−x при x > c (c = 2, I = 3,845) — физичнее: спадает круче и обрывается у пробега.

Для одиночной бусины экспоненциальное ядро совпадает с Монте-Карло на 4 % (6,39 против 6,69 мкЗв/ч) — базовый источник воспроизведён полностью независимым методом. Систематические отклонения на укладках разобраны в §8.

8Анализ достоверности и расхождений

Результату можно доверять, поскольку он подтверждается несколькими независимыми линиями; ниже — их сводка, затем разбор единственного систематического расхождения.

8.1. Расхождение «классика ↔ Монте-Карло» на укладках

Единственное систематическое расхождение — рост отношения «интеграл по сфере / МК» с размером укладки: экспоненциальное ядро ×0,96 → ×1,19 → ×1,54, ядро Лёвинджера ×0,87 → ×1,09 → ×1,41. Это не случайный разброс, а эффект с ясной физической причиной:

• «Толстый хвост» ядра — главная причина. Экспоненциальное ядро e^−ν·m/r² присваивает ненулевую дозу сколь угодно далёким точкам, тогда как истинное β-ядро резко обрывается на экстраполированном пробеге. Для одиночной бусины дозу формирует ближняя зона (обе модели совпадают); при добавлении далёких бусин хвост переоценивает их вклад — тем сильнее, чем больше укладка. Монотонный рост завышения 4 % → 19 % → 54 % — прямая «подпись» эффекта. Ядро Лёвинджера, спадающее круче и обрывающееся у пробега, систематически ближе к МК (54 %→41 %, 19 %→9 %), что подтверждает диагноз.
• Весь спектр описан одной энергией и одним коэффициентом ослабления. Классическая модель заменяет непрерывный β-спектр (много энергий) единственной средней энергией Ē и единственным коэффициентом ослабления ν, вычисленным по граничной энергии E_max. В реальности мягкие β-частицы поглощаются у поверхности, а жёсткие проникают глубже, поэтому «жёсткость» пучка растёт с глубиной и эффективное ослабление меняется от точки к точке. Одно усреднённое ν этого не передаёт: оно занижает спад дозы с расстоянием и потому завышает дальнее поле (вклад далёких бусин).
• Прямолинейное изотропное ядро без рассеяния. Не учтены многократное и обратное рассеяние электронов, которые в МК слегка снижают дальнее поле; вклад второго порядка.

9Сравнение с нормативами

Соответствующий норматив — предел эквивалентной дозы в коже по НРБ-99/2009[7]; он определён именно как доза, усреднённая по площади 1 см² на глубине базального слоя, — то есть та величина Ḣ_p(0,07), что рассчитана здесь. Общий предел эффективной дозы (1 мЗв/год для населения) к локальному облучению кожи напрямую не применяется.

Пределы эквивалентной дозы в коже: население 50 мЗв/год, персонал группы А 500 мЗв/год. Реалистичные режимы обращения:

10Допущения и границы применимости

• Нарушение равновесия. Принято, что радий и последующие члены ряда отсутствуют (очищенный уран). Остаточный ²²⁶Ra (частичное равновесие) добавил бы проникающее гамма-излучение ряда — это отдельный источник, здесь не учтён. Для радийсодержащего стекла картина изменилась бы качественно.
• Плотность стекла 2,5 г/см³ — допущение; на самопоглощение бета-частиц влияет слабо, поскольку при фиксированных измеренной массе и внешнем диаметре поверхностная плотность стекла от плотности почти не зависит.
• Форма бусины. Рокайль 6/0 моделирован сферой Ø4,1 мм с осевым отверстием при измеренной массе; реальная форма (скруглённый бочонок) промежуточна между сферой и цилиндром, поэтому истинная доза лежит между сферической оценкой (данная работа) и цилиндрической (на ~20 % выше для одиночной бусины; для плотной укладки различие мало).
• Содержание церия ~0,5 % (точно неизвестно); на перенос β/γ при этой доле не влияет.
• Контакт вплотную — консервативный (максимальный) случай кожной дозы. Любой зазор (ткань одежды, оправа, слой пыли, лак) резко снижает электронную компоненту (> 99,8 % дозы): пробег бета-частиц в плотном материале — доли миллиметра.
• Предел для кистей/стоп также 50 мЗв/год (население) — тот же порядок, актуален при длительном удержании бисера в руках.

11Заявление об использовании ИИ

Работа выполнена в связке «оператор + ИИ-агент» (интерфейс Claude Code, Anthropic). Роли распределены так:

• Расчётная линия (модель источника, геометрия и физика в Geant4, код на C++, прогоны, постпроцессинг и свёртка на Python, иллюстрации и 3D-визуализация поля, текст статьи) — ИИ-агент Claude Code; модели Anthropic Claude Opus 4.8 и Claude Fable 5.
• Независимый аудит — отдельный ИИ-агент (модель Anthropic Claude): проверка по фактам и методике. Аудит независимо воспроизвёл дозы из сырых данных расчёта и выявил ошибку нормировки в первой редакции (двойной учёт изобарной подцепочки при суммировании перекрывающихся прогонов): команда ограничения цепочки в аналоговом режиме Geant4 не действует, поэтому запуск ²³⁴Th уже содержал вклад ^234mPa. Исправление — суммирование только по двум непересекающимся цепочкам (A = 234, A = 235). Качественные выводы при этом не изменились (ошибка была в консервативную сторону).
• Оператор (человек): предоставление образца и его характеристик, измеренных коллегами методом гамма-спектрометрии на HPGe-детекторе[14] (удельные активности ²³⁸U/²³⁵U, масса, геометрия), постановка задачи, выбор и подтверждение допущений, приёмка каждого шага, критические замечания, решения о публикации. Ответственность за исходные допущения и итоговые выводы — на операторе.

Все приведённые величины воспроизводимы приложенным кодом (проект beads_skin). К статье прилагается интерактивный калькулятор Ḣ_p(0,07) для произвольной геометрии раскладки, содержания урана и размера бусин (описание — в § 4); его расчётное ядро откалибровано по опорным точкам настоящей работы и целиком выполняется в браузере читателя.

12Источники, данные и код

1. Strahan D. Uranium in glass, glazes and enamels: history, identification and handling. Studies in Conservation, 46(3), 2001, 181–195. Взято: типичное содержание урана в стекле — до ~1.4–2 масс.% (наш образец 1.85 %), обращение и доза. tandfonline
2. Bamford C.R. Colour Generation and Control in Glass. Elsevier, 1977. Взято: CeO₂ как обесцвечиватель стекла.
3. Механизм обесцвечивания церием (окисление Fe²⁺→Fe³⁺) и типичные доли CeO₂ 0.025–0.2 масс.%: обзор «Use of cerium oxide as decolorant in the glass industry»; Stanford Advanced Materials. ResearchGate
4. IAEA Nuclear Data Services, Live Chart of Nuclides (оценка ENSDF). Данные распада (T½, β-эндпоинты, γ-линии) для ²³⁴Th, ^234mPa, ²³⁵U, ²³¹Th, ²³⁰Th получены напрямую через API (relnsd/v1). Взято: ^234mPa Q_β ≈ 2.27 МэВ; ²³⁵U γ 143.8/163.4/185.7/205.3 кэВ (185.7 = 57.2 %); ²³⁴Th γ 63.3 кэВ; ²³¹Th Q_β 391.5 кэВ; ²³⁰Th T½ 75 584 года. nds.iaea.org — Live Chart
5. ICRP Publication 107. Nuclear Decay Data for Dosimetric Calculations. Ann. ICRP 38(3), 2008. Библиотека распада, использованная в Geant4 RadioactiveDecay. icrp.org
6. Evaluated Nuclear Structure Data File (ENSDF), NNDC, Brookhaven National Laboratory. nndc.bnl.gov/ensdf
7. ICRP Publication 103. The 2007 Recommendations of the ICRP. Ann. ICRP 37(2–4), 2007. Взято: доза в коже — среднее по 1 см² на глубине 70 мкм (7 мг/см²). icrp.org
8. Нормы радиационной безопасности НРБ-99/2009 (СанПиН 2.6.1.2523-09). Пределы: кожа население 50 мЗв/год, персонал А 500 мЗв/год. PDF
9. ICRU Report 44. Tissue Substitutes in Radiation Dosimetry and Measurement. 1989. Взято: состав мягкой ткани (реализован через материал G4_TISSUE_SOFT_ICRP). icru.org
10. Agostinelli S. et al. Geant4 — a simulation toolkit. Nucl. Instrum. Meth. A 506(3), 2003, 250–303. doi:10.1016/S0168-9002(03)01368-8
11. Allison J. et al. Recent developments in Geant4. Nucl. Instrum. Meth. A 835, 2016, 186–225. doi:10.1016/j.nima.2016.06.125
12. Geant4 Physics Reference Manual (v11.2): G4EmStandardPhysics_option4, G4RadioactiveDecay. geant4.web.cern.ch
13. Bourdon B. et al. (eds). Uranium-series Geochemistry. Reviews in Mineralogy and Geochemistry 52, 2003. Взято: нарушение векового равновесия при химическом фракционировании урана. doi:10.1515/9781501509308
14. Hamby D.M. et al. VARSKIN — a computer code for skin contamination dosimetry. NUREG/CR-6918. Методологический аналог; сравнение в данной работе не проводилось. nrc.gov
15. Данные образца — удельные активности ²³⁸U/²³⁵U, масса и геометрия («Чашка Петри») измерены коллегами методом гамма-спектрометрии высокого разрешения на полупроводниковом HPGe-детекторе (особо чистый германий); данные предоставлены оператору (внутренние, 2021).
16. Hassan H.J., Hashim S. et al. Naturally Occurring Radioactive Materials in Bracelets and Necklaces: Radiological Risk Evaluation. Int. J. Environ. Res. Public Health 18(21), 2021, 11170. Аналогичная работа (HPGe + Geant4 MC по украшениям с NORM): их источник радийсодержащий (ряды U/Th целы, Th-доминантный), оценивалась гамма-доза → эквивалентная доза в коже 0,04–0,42 мкЗв/ч (Табл. 3 источника, макс. образец N16); наш очищенный U бета-доминантный → выше по коже, но без проникающей γ ряда. doi:10.3390/ijerph182111170
17. Loevinger R. The dosimetry of beta sources in tissue. The point-source function. Radiology 66(1), 1956, 55–62. Взято (§7.2): бета-точечная дозовая функция Φ(x), в т.ч. форма Лёвинджера, и эмпирический коэффициент ослабления β. doi:10.1148/66.1.55
18. Cember H., Johnson T.E. Introduction to Health Physics, 4-е изд. McGraw-Hill, 2009, гл. «Beta dosimetry». Взято (§7.1): рабочие формулы β-дозиметрии — кажущийся коэффициент ослабления ν = 16(E_max − 0,036)^−1,4 см²/г; равновесная поглощённая доза в бесконечной среде Ḋ_∞ = C_v·Ē и её половина у поверхности полубесконечного источника.
19. Cross W.G., Freedman N.O., Wong P.Y. Beta-ray dose distributions from point sources in an infinite water medium. Health Physics 63(2), 1992, 160–171. Взято (§7.2): метод бета-точечного дозового ядра — геометрическое расхождение 1/(4πr²) с радиальной функцией спада; эталонные распределения дозы вокруг точечного источника в воде. PubMed 1399614

Код и данные расчёта: проект Geant4 beads_skin (main.cc, свёртка postproc_beads.py, рендеры field_render.py, fig_hotparticle.py). Все графические материалы — в каталоге figures/ этой страницы.

Приложение А. Пересчёт плотности потока β в мощность эквивалентной дозы Ḣ_p(0,07) (плотная укладка)

Для полевого контроля удобно связать показание плотности потока β-частиц φ_β (измеряется приборами контроля плотности потока β-частиц, например блоком детектирования БДПБ или дозиметром-радиометром МКС-01СА) с мощностью эквивалентной дозы в коже. Для геометрии «плотная укладка»:

Ḣ_p(0,07) = K · φ_β

Плотность потока — прямой расчёт Монте-Карло. В той же модели Geant4 (§3) для коврика 9×9 подсчитаны β-частицы, пересекающие границу кожи (диск 1 см²), со свёрткой по измеренным активностям (как для дозы). Учтён порог регистрации 156 кэВ (мягкие β отсекаются прибором):

Коэффициент. При Ḣ_p(0,07) плотной укладки = 48,4 мкЗв/ч (Монте-Карло, §4) и φ_β(>156 кэВ) = 16,4 β·см⁻²·с⁻¹:

K ≈ 3,0 (мкЗв/ч)/(β·см⁻²·с⁻¹)   или   K ≈ 0,05 (мкЗв/ч)/(β·см⁻²·мин⁻¹)

Ориентир: 1000 β·см⁻²·мин⁻¹ ≈ 50 мкЗв/ч. Неопределённость ~30 % (плотность стекла ±10 %, статистика МК, геометрия измерения и обратное рассеяние). Примечание. Простая аналитическая оценка «чистого тока» J = C_m·n_β/(6ν) = 7,5 β·см⁻²·с⁻¹ даёт вдвое меньше: детектор считает все пересечения (≈ 2× тока при широком угловом распределении) плюс конверсионные электроны — поэтому используется прямой транспорт, согласованный с измерением.

1Sample and objective

Uranium glass is a silicate glass coloured with uranium compounds (typically 0.1–2 wt% U, historically up to tens of percent); it shows a yellow-green colour and bright green fluorescence[1]. The measured uranium mass fraction in the beads studied is 1.85 % (18.37 g ²³⁸U + 0.124 g ²³⁵U per kg of glass). The observed cerium fluorescence and the absence of barium indicate that cerium oxide CeO₂ — a common glass decolorizer — was added to the melt: cerium acts not as a colorant but as an oxidizer, converting impurity iron Fe²⁺ (a strong blue-green colorant) into Fe³⁺ (a weak yellow), thereby removing the unwanted tint[2]. Typical CeO₂ additions are 0.025–0.2 wt%[2b]; the calculation adopts ~0.5 % (an upper estimate, negligible for β/γ transport, §3).

Keywords: uranium glass; naturally occurring radioactive material (NORM); purified uranium; secular equilibrium disruption; ^234mPa; skin dose; beta dosimetry; hot-particle effect; Monte Carlo; Geant4; radioactive consumer products.

The aim is to estimate the equivalent skin dose rate and skin dose from beta and gamma radiation for direct contact of the beads with skin, in three handling scenarios: (a) one bead, (b) a chain of beads (thread, bracelet), (c) a dense single-row packing — a "mat" (embroidery, dense beadwork). The dose is normalized to the epidermal basal layer (depth 50–100 µm, ≈ 5–10 mg/cm²), averaged over a 1 cm² area — the standard definition of the equivalent skin dose[6][7].

2Radionuclide composition of the source

Per the origin of the glass, its uranium is chemically purified (depleted or natural, with minimal radium). Chemical purification of uranium separates its decay products, so the secular equilibrium of the ²³⁸U series is broken at ²²⁶Ra. Over the lifetime of the object (decades) ²²⁶Ra is not appreciably regenerated from ²³⁰Th: the half-life of ²³⁰Th is 75,584 years[3]. Hence radium and the subsequent chain members are absent — namely ²¹⁴Pb and ²¹⁴Bi, which in radium-bearing material produce the penetrating gamma lines 352 / 609 / 1120 / 1764 keV[4].

Only the short-lived daughters of the first links of the ²³⁸U and ²³⁵U chains are present and radiating, having re-established secular equilibrium with the parent uranium within months of melting:

3Model and calculation method

Monte Carlo and Geant4

The calculation uses the Monte Carlo method — direct statistical modelling of the fate of each individual particle: sampling its birth location, energy, direction and all subsequent interactions with matter down to complete absorption. The particle-transport library Geant4 (GEometry ANd Tracking, developed at CERN, a standard tool of dosimetry and medical physics) is used, version 11.2.1[9][10]. The physics list — the set of interaction models attached to the transport — determines the accuracy:

• G4EmStandardPhysics_option4 — the most accurate standard configuration of Geant4 electromagnetic physics (recommended for dosimetry). For electrons it includes ionization losses, bremsstrahlung, multiple and single Coulomb scattering; for photons — the photoelectric effect, Compton and Rayleigh scattering, pair production, plus fluorescence and Auger emission. Its range of validity (from ~100 eV) covers the whole energy range of the problem[11].
• G4RadioactiveDecay — the radioactive-decay module. For a given nucleus it samples the decay from evaluated nuclear data (a library based on ENSDF / ICRP-107[4][5]): the decay mode, the full continuous β spectrum (not a mean energy), the gamma cascade of the daughter, internal-conversion electrons, characteristic X-rays and Auger electrons. The source spectra are not set by hand — they are generated from nuclear data.

Primary source and treatment of the decay chain

The primary particle of each history is the parent ion (e.g. ²³⁴Th) at zero kinetic energy, placed at a random point of the glass volume; the decay is sampled immediately. Since β decay conserves the mass number A, the isobaric sub-chain A = 234 (²³⁴Th → ^234mPa → ²³⁴U) in secular equilibrium is modelled as a whole: one run with the activity of ²³⁴Th reproduces the combined radiation of ²³⁴Th and ^234mPa (their activities are equal). Alpha decay changes A, so the chain does not proceed further and the radium series is not regenerated. The A = 235 chain (²³⁵U → ²³¹Th) is modelled analogously. The total dose is the sum of the contributions of the two non-overlapping chains, which excludes double counting (see §11 — independent code audit).

Convolution with activities. Each run yields a response — the energy absorbed in tissue per decay. The dose rate is obtained by multiplying the response by the measured activity and summing over the chains: Ḋ = Σ A_i·R_i. Separating "transport ↔ activities" allows the dose to be recomputed when activities are refined without repeating the simulation.

Geometry and phantom

Glass — soda-lime silicate with U 1.84 wt% and Ce ~0.5 % (CeO₂; exact content unknown, negligible effect on β/γ transport at this level), density 2.5 g/cm³[1]. The bead 6/0 (rocaille) is modelled as a sphere Ø4.1 mm with an axial cylindrical hole (radius 0.93 mm chosen to match the measured mass 63.96 mg); the sphere touches the skin at a single point. The source is distributed over the glass volume, which accounts for beta self-absorption: part of the emitted beta particles is absorbed in the glass and never reaches the skin. The calculation gives 55 % of the beta energy absorbed in the glass for a single bead, rising to 67 % in a dense packing. The chain is 11 spheres in a line at 4.1 mm pitch (touching), the row axis parallel to the skin; scoring is under the central bead. The mat is a square lattice of beads at the same pitch.

The "skin + adjacent tissue" phantom. For beta and soft gamma radiation from a contact source, a full-body voxel phantom is not appropriate (beta particles travel ≤ 1 cm into tissue and do not "see" the rest of the body; a voxel model does not resolve the 70 µm layer). Instead a layered tissue slab is used: ICRU soft tissue[8], 2 cm thick. The top 0.5 mm is resolved with a fine step (15 µm) and a low secondary-production threshold (5 µm). The absorbed energy is accumulated versus depth and radius within a 1 cm² disk; electrons (β particles, internal-conversion and Auger electrons), decay photons (γ and characteristic X-rays) and bremsstrahlung are scored separately.

Statistics

Statistics: 2·10⁶ decays for chain A = 234 and 1·10⁶ for A = 235. The statistical uncertainty (1σ) of the basal-layer dose rate is 0.3 % (single bead), 0.6 % (chain), 1.0 % (mat), far below the systematic assumptions (§10). The bremsstrahlung contribution to the skin dose is negligible (< 0.1 %). The credibility of the calculation is justified in §8.

4Skin dose-equivalent rate Ḣ_p(0.07): results

Personal skin dose-equivalent rate Ḣ_p(0.07) (µGy/h = µSv/h, radiation weighting factor w_R = 1 for β and γ), direct contact, averaged over 1 cm²:

Uncertainty budget

The Monte Carlo statistical uncertainty is small (< 1 %); the overall calculation uncertainty is set by the systematic assumptions, chiefly the bead shape. The spherical model gives a lower estimate of the skin dose (compact geometry, point contact, maximal self-absorption); the cylindrical one an upper estimate; the true value for a real rocaille (rounded barrel) lies between them.

In addition, the result is linearly proportional to the measured specific activity of the source: its uncertainty (a measured input) propagates to the dose 1:1 and is not included in the calculation budget — when the activities are refined, the dose is simply rescaled by the corresponding factor.

Field saturation with packing size: the central dose rate grows only while beads are added within the lateral spread of the beta particles (~1 cm). Relative to a single bead: chain ×2.7; mat 5×5 ×7.2, 7×7 ×7.3, 9×9 ×7.2 — further enlargement of the packing does not increase the dose rate (saturation is already reached at ~5×5). The skin dose-equivalent rate is almost entirely due to the electron component (> 99.8 %); the photon contribution does not exceed 0.2 %, but photons penetrate substantially deeper than beta particles (Fig. 1).

5Spatial distribution of the dose-rate field

Three-dimensional distribution of the absorbed dose rate (in a tissue-equivalent medium) around the source for the three configurations. As the packing grows, the localized field of a single bead turns into a quasi-uniform near-surface irradiation layer; the photon component is always broader and orders of magnitude weaker than the electron one.

6Local non-uniformity: the "hot particle" effect

The sphere touches the skin essentially at a point, which raises the question of a possible limit exceedance in a microscopic contact spot. However, the skin-dose limit[6][7] is defined precisely as the dose averaged over a 1 cm² area — deliberately, because it protects against deterministic skin effects (erythema, necrosis) that require irradiation of a finite tissue volume; the same averaging approach is adopted for discrete radioactive particles (NCRP-130, ICRP). No separate, stricter "local" limit for point contact is introduced.

Quantitatively: the basal-layer dose averaged over a disk of ever smaller area under the contact point rises from the regulatory value of 6.7 µSv/h (1 cm²) to 27 µSv/h over 0.01 cm² (Fig. 4). The peak-to-average (1 cm²) ratio is ×4.1. Even this peak local value (tens of µSv/h) is orders of magnitude below the levels at which deterministic skin effects occur: the erythema threshold (~3 Gy) at 27 µGy/h would be reached only after ~10⁵ hours of continuous contact. Thus the local non-uniformity of the field does not lead to a limit exceedance.

7Verification by a classical method

To check both the order of magnitude and the absolute value independently of Geant4, a classical (semi-analytical) estimate was made, "from simple to accurate": first a closed-form formula for the mat that the reader can reproduce by hand (§7.1), then a volume integral over the sphere with two variants of the dose kernel (§7.2).

7.1. Equivalent dose rate Ḣ_p(0.07) of the dense packing: closed-form (semi-infinite plane source)

The dense mat is laterally much larger than the beta range (the extrapolated range of the ^234mPa β, E_max = 2.27 MeV, in tissue ≈ 1.1 g/cm² ≈ 11 mm; the 9×9 mat ≈ 37 mm), so it is legitimate to approximate it as an infinite uniform β-active plane of glass. The dose rate at the surface of a semi-infinite uniform source equals half the equilibrium rate in an infinite medium[17] (energy splits equally "up/down"), attenuated to the basal-layer depth:

Ḋ_p(0.07) = ½ · Σ_i C_v,i · Ē_i · e^−ν_iσ · k

• C_v,i — specific activity of nuclide i, Bq/kg (Table 1);
• Ē_i — mean energy of the β spectrum, MeV (IAEA/ICRP-107);
• ν_i = 16·(E_max,i − 0.036)^−1.4 — the beta attenuation coefficient, cm²/g (Loevinger empirical[16][17]);
• σ = ρ_tissue·d = 1.03 g/cm³ × 7.0·10⁻³ cm = 7.21·10⁻³ g/cm² — the mass depth of the basal layer (70 µm);
• k — conversion (Bq/kg)·MeV → µGy/h: k = 1.602·10⁻¹³ J/MeV × 3.6·10⁹, i.e. Ḋ_∞[µGy/h] = C_v·Ē·5.767·10⁻⁴.

Worked example for the dominant ^234mPa (four lines on a calculator):

1. ν = 16·(2.27 − 0.036)^−1.4 = 16·(2.234)^−1.4 = 16 / 3.08 = 5.19 cm²/g;
2. νσ = 5.19 × 7.21·10⁻³ = 0.0374; e^−0.0374 = 0.963;
3. Ḋ_∞ = 2.27·10⁵ × 0.819 × 5.767·10⁻⁴ = 107.2 µGy/h;
4. contribution = ½ × 107.2 × 0.963 = 51.7 µGy/h.

Uncertainty. The result is dominated by ^234mPa (the factor e^−νσ ≈ 0.96 barely matters). The governing contributions are the specific activity (HPGe, u ≈ 10 %) and the mean β energy (u ≈ 10 %): u_rel = √(0.10² + 0.10²) ≈ 14 %. Result: Ḋ_p(0.07) ≈ 53 ± 7 µGy/h.

7.2. Equivalent dose rate Ḣ_p(0.07) of the single bead: dose-kernel integral over the sphere

A single bead is small compared with the beta range, so the semi-infinite approximation does not apply to it. For it (and the intermediate packings) a beta point-dose kernel was used, integrated over the glass volume of the sphere with self-absorption; the chain and mat are obtained by superposition of spheres on a lattice:

Ḋ(r) = a·Ē·ν / (4π I) · Φ(ν·m) / r², I = ∫₀^∞ Φ(u) du

where m is the mass along the ray (glass + tissue) and r the distance; a·Ē is the total emitted power, 1/(4πr²) the geometric spreading of an isotropic point source, Φ(ν·m) the dimensionless radial dose fall-off (the dose kernel)[16][18], and the normalization factor ν/(4πI) with I = ∫₀^∞Φ(u)du is fixed by energy conservation (∫ Ḋ·ρ·4πr²dr = a·Ē). The dose is evaluated only at target points on the skin (the 1 cm² disk at the basal-layer depth) and summed over all source points in the glass: the 1/(4πr²) factor gives the fraction of each point's isotropic emission that reaches the skin within its solid angle, and Φ(ν·m) attenuates it over the glass path along the ray to the skin. Thus not the "whole emission from the sphere" but only the part reaching the skin is counted (electrons going up or sideways have no target on the skin). Two kernels Φ were considered:

• exponential Φ(x) = e^−x (I = 1) — the simplest, with an infinite "tail";
• Loevinger (1956)[16] Φ(x) = c(1−(x/c)·e^1−x/c) + x·e^1−x for x ≤ c; x·e^1−x for x > c (c = 2, I = 3.845) — more physical: it falls off more steeply and cuts off near the range.

For a single bead the exponential kernel agrees with Monte Carlo to 4 % (6.39 vs 6.69 µSv/h) — the fundamental source is reproduced by a fully independent method. The systematic deviations for packings are analysed in §8.

8Analysis of credibility and discrepancy

The result can be trusted because it is confirmed by several independent lines; below is their summary, then the analysis of the single systematic discrepancy.

8.1. The "classical ↔ Monte Carlo" discrepancy for packings

The single systematic discrepancy is the growth of the "sphere integral / MC" ratio with packing size: the exponential kernel ×0.96 → ×1.19 → ×1.54, the Loevinger kernel ×0.87 → ×1.09 → ×1.41. This is not random scatter but an effect with a clear physical cause:

• The "fat tail" of the kernel — the main cause. The exponential kernel e^−ν·m/r² assigns non-zero dose to arbitrarily distant points, whereas the true β kernel cuts off sharply at the extrapolated range. For a single bead the dose is set by the near field (both models agree); as distant beads are added, the tail over-counts their contribution — the more so the larger the array. The monotonic growth 4 % → 19 % → 54 % is the direct signature of the effect. The Loevinger kernel, falling off more steeply and cutting off near the range, is systematically closer to MC (54 %→41 %, 19 %→9 %), which confirms the diagnosis.
• The whole spectrum is described by one energy and one attenuation coefficient. The classical model replaces the continuous β spectrum (many energies) by a single mean energy Ē and a single attenuation coefficient ν computed from the endpoint energy E_max. In reality soft β particles are absorbed near the surface while hard ones penetrate deeper, so the beam "hardens" with depth and the effective attenuation varies from point to point. A single averaged ν cannot capture this: it underestimates the fall-off with distance and therefore overestimates the far field (the contribution of distant beads).
• Straight-line isotropic kernel, no scattering. Multiple and back-scattering of electrons, which in the MC slightly reduce the far field, are not included; a second-order contribution.

9Comparison with regulatory limits

The relevant limit is the equivalent-dose limit for skin under Russian radiation safety standards NRB-99/2009[7]; it is defined as the dose Ḣ_p(0.07) averaged over 1 cm² at the basal-layer depth — exactly the quantity computed here. The general effective-dose limit (1 mSv/year for the public) does not apply directly to localized skin irradiation.

Equivalent skin-dose limits: public 50 mSv/year, occupational (category A) 500 mSv/year. Realistic handling regimes:

10Assumptions and applicability

• Broken equilibrium. It is assumed that radium and the subsequent chain members are absent (purified uranium). Residual ²²⁶Ra (partial equilibrium) would add penetrating series gamma radiation — a separate source, not included here. For radium-bearing glass the picture would change qualitatively.
• Glass density 2.5 g/cm³ — an assumption; it weakly affects beta self-absorption, since at fixed measured mass and outer diameter the areal density of the glass barely depends on density.
• Bead shape. The 6/0 rocaille is modelled as a Ø4.1 mm sphere with an axial hole at the measured mass; the real shape (a rounded barrel) is intermediate between a sphere and a cylinder, so the true dose lies between the spherical estimate (this work) and the cylindrical one (~20 % higher for a single bead; the difference is small for a dense packing).
• Cerium content ~0.5 % (exact value unknown); no effect on β/γ transport at this level.
• Direct contact is the conservative (maximum) case of skin dose. Any gap (clothing fabric, a mount, a dust layer, lacquer) sharply reduces the electron component (> 99.8 % of the dose): the beta range in dense material is fractions of a millimetre.
• The limit for hands/feet is also 50 mSv/year (public) — the same order, relevant for prolonged holding of the beads in the hands.

11Statement on the use of AI

The work was carried out by an "operator + AI agent" pairing (Claude Code interface, Anthropic). Roles:

• Calculation line (source model, geometry and physics in Geant4, C++ code, runs, Python post-processing and convolution, illustrations and 3D field visualization, article text) — the Claude Code AI agent; Anthropic Claude Opus 4.8 and Claude Fable 5 models.
• Independent audit — a separate AI agent (Anthropic Claude): a fact- and methodology-based review. It independently reproduced the doses from the raw calculation data and identified a normalization error in the first revision (double counting of the isobaric sub-chain when summing overlapping runs): the chain-limiting command has no effect in Geant4 analog mode, so the ²³⁴Th run already contained the ^234mPa contribution. The fix — summing only over the two non-overlapping chains (A = 234, A = 235). The qualitative conclusions were unchanged (the error was on the conservative side).
• Operator (human): provided the sample and its characteristics, measured by colleagues via gamma-ray spectrometry on an HPGe detector[14] (specific activities ²³⁸U/²³⁵U, mass, geometry), set the task, chose and confirmed the assumptions, accepted each step, made critical remarks, and made the publication decisions. Responsibility for the input assumptions and final conclusions rests with the operator.

All reported values are reproducible with the attached code (project beads_skin). An interactive Ḣ_p(0.07) calculator accompanies this paper, covering arbitrary packing geometry, uranium content and bead size (described in § 4); its kernel is calibrated against the reference points of the present work and runs entirely in the reader's browser.

12References, data and code

1. Strahan D. Uranium in glass, glazes and enamels: history, identification and handling. Studies in Conservation, 46(3), 2001, 181–195. Used: typical uranium content of glass up to ~1.4–2 wt% (our sample 1.85 %). tandfonline
2. Bamford C.R. Colour Generation and Control in Glass. Elsevier, 1977. Used: CeO₂ as a glass decolorizer.
3. Cerium decolorizing mechanism (Fe²⁺→Fe³⁺ oxidation) and typical CeO₂ fractions 0.025–0.2 wt%: review "Use of cerium oxide as decolorant in the glass industry"; Stanford Advanced Materials. ResearchGate
4. IAEA Nuclear Data Services, Live Chart of Nuclides (ENSDF-based). Decay data (half-lives, β endpoints, γ lines) for ²³⁴Th, ^234mPa, ²³⁵U, ²³¹Th, ²³⁰Th obtained directly via the API (relnsd/v1). Used: ^234mPa Q_β ≈ 2.27 MeV; ²³⁵U γ 143.8/163.4/185.7/205.3 keV (185.7 = 57.2 %); ²³⁴Th γ 63.3 keV; ²³¹Th Q_β 391.5 keV; ²³⁰Th T½ 75,584 y. nds.iaea.org — Live Chart
5. ICRP Publication 107. Nuclear Decay Data for Dosimetric Calculations. Ann. ICRP 38(3), 2008. icrp.org
6. Evaluated Nuclear Structure Data File (ENSDF), NNDC, Brookhaven National Laboratory. nndc.bnl.gov/ensdf
7. ICRP Publication 103. The 2007 Recommendations of the ICRP. Ann. ICRP 37(2–4), 2007. Used: skin dose averaged over 1 cm² at 70 µm (7 mg/cm²). icrp.org
8. Radiation Safety Standards NRB-99/2009 (SanPiN 2.6.1.2523-09), Russia. Skin limits: public 50 mSv/year, occupational A 500 mSv/year. PDF
9. ICRU Report 44. Tissue Substitutes in Radiation Dosimetry and Measurement. 1989. icru.org
10. Agostinelli S. et al. Geant4 — a simulation toolkit. Nucl. Instrum. Meth. A 506(3), 2003, 250–303. doi:10.1016/S0168-9002(03)01368-8
11. Allison J. et al. Recent developments in Geant4. Nucl. Instrum. Meth. A 835, 2016, 186–225. doi:10.1016/j.nima.2016.06.125
12. Geant4 Physics Reference Manual (v11.2). geant4.web.cern.ch
13. Bourdon B. et al. (eds). Uranium-series Geochemistry. Rev. Mineral. Geochem. 52, 2003. doi:10.1515/9781501509308
14. Hamby D.M. et al. VARSKIN — skin contamination dosimetry. NUREG/CR-6918. Methodological analogue; no comparison performed here. nrc.gov
15. Sample data — specific activities ²³⁸U/²³⁵U, mass and geometry ("Petri dish") measured by colleagues via high-resolution gamma-ray spectrometry on an HPGe (high-purity germanium) detector; provided to the operator (internal, 2021).
16. ⁹⁰Sr/⁹⁰Y surface-contamination skin-dose factor (order-of-magnitude check, §8): Colorado State Univ., Radiation Safety Module 5; Stanford EH&S ⁹⁰Sr Safety Data Sheet. colostate · stanford
17. Hassan H.J., Hashim S. et al. Naturally Occurring Radioactive Materials in Bracelets and Necklaces: Radiological Risk Evaluation. Int. J. Environ. Res. Public Health 18(21), 2021, 11170. Analogous study (HPGe + Geant4 MC of NORM jewelry): their items are radium-bearing (U/Th series intact, Th-dominant) and the gamma dose was assessed → skin equivalent dose 0.04–0.42 µSv/h (source Table 3, max sample N16); our purified-U beta-dominated beads → higher skin dose but no penetrating series γ. doi:10.3390/ijerph182111170
18. Loevinger R. The dosimetry of beta sources in tissue. The point-source function. Radiology 66(1), 1956, 55–62. Used (§7.2): the beta point-source dose function Φ(x), including the Loevinger form, and the empirical β attenuation coefficient. doi:10.1148/66.1.55
19. Cember H., Johnson T.E. Introduction to Health Physics, 4th ed. McGraw-Hill, 2009, "Beta dosimetry" chapter. Used (§7.1): working β-dosimetry formulas — the apparent attenuation coefficient ν = 16(E_max − 0.036)^−1.4 cm²/g; the equilibrium absorbed dose in an infinite medium Ḋ_∞ = C_v·Ē and its half at the surface of a semi-infinite source.
20. Cross W.G., Freedman N.O., Wong P.Y. Beta-ray dose distributions from point sources in an infinite water medium. Health Physics 63(2), 1992, 160–171. Used (§7.2): the beta point-dose-kernel method — the 1/(4πr²) geometric spreading with a radial fall-off function; reference dose distributions around a point source in water. PubMed 1399614

Calculation code and data: Geant4 project beads_skin (main.cc, convolution postproc_beads.py, renderers field_render.py, fig_hotparticle.py). All graphics are in the figures/ folder of this page.

Appendix A. Conversion from β flux density to the skin dose-equivalent rate Ḣ_p(0.07) (dense packing)

For field monitoring it is convenient to relate the reading of the β-particle flux density φ_β (measured with β flux-density instruments, e.g. a BDPB detector unit or an MKS-01SA dose-rate/radiometer) to the skin dose-equivalent rate. For the dense-packing geometry:

Ḣ_p(0.07) = K · φ_β

Flux density — direct Monte Carlo. In the same Geant4 model (§3), for the 9×9 mat the β particles crossing the skin boundary (over the 1 cm² disk) were counted and folded with the measured activities (as for the dose). The 156 keV registration threshold is applied (soft β are cut by the instrument):

The coefficient. With Ḣ_p(0.07) of the dense packing = 48.4 µSv/h (Monte Carlo, §4) and φ_β(>156 keV) = 16.4 β·cm⁻²·s⁻¹:

K ≈ 3.0 (µSv/h)/(β·cm⁻²·s⁻¹)   or   K ≈ 0.05 (µSv/h)/(β·cm⁻²·min⁻¹)

Rule of thumb: 1000 β·cm⁻²·min⁻¹ ≈ 50 µSv/h. Uncertainty ~30 % (glass density ±10 %, MC statistics, measurement geometry and backscatter). Note. A simple analytical "net current" estimate J = C_m·n_β/(6ν) = 7.5 β·cm⁻²·s⁻¹ gives half as much: a detector counts all crossings (≈ 2× the net current for a broad angular distribution) plus conversion electrons — hence direct transport, consistent with the measurement, is used.